Сын священника, он начинал свою учебу в духовном училище и семинарии, но завершал начальное образование в трудовой школе уже после Октябрьской революции. В июне 1920 г. А. П. Быстров стал бойцом Красной Армии, а на следующий год, несмотря на свое социальное происхождение и причастность к религиозному образованию, — студентом Военно-медицинского института, который — уже преобразованный в Военно-медицинскую академию — закончил в 1926 г. До 1929 г. А. П. Быстров практиковал в лечебных заведениях воинских частей, являлся ассистентом и научным сотрудником, а с 1929 г. — и преподавателем Военно-морской академии. С начала 1930-х А.П. Быстров начинает приходить в Палеозоологический институт на стрелке Васильевского острова, в 1933 г. выходит его первая палеонтологическая работа по палеозойским позвоночным, основаная на изучении коллекций института. В 1935 г. получает кандидатскую степень по сумме работ, опубликованных по медицине. Демобилизовавшись в 1937 г., он некоторое время работал в Палеонтологическом институте и с 1939 г., переехав в Ленинград,— в Медицинском институте. В 1940 г. А. П. Быстров защищает докторскую диссертацию в Зоологическом институте АН, становится профессором ВМА. В годы Великой Отечественной войны А. П. Быстров работал военным врачом Военно-медицинской академии, которая была эвакуирована в г. Киров. Здесь в феврале 1943 г. ему было присвоено звание подполковника, а в 1944 г. он был награжден орденом Боевого Красного Знамени, а потом — медалью «За победу над Германией». С 1947 по 1959 гг. его жизнь и научная и педагогическая деятельность продолжалась на геолого-почвенном факультете Ленинградского государственного университета